Posted by Berbagi Ilmu on Senin, 28 Maret 2016
Teori Himpunan Aljabar Abstrak (Struktur Aljabar, Aljabar Modern) diawali dengan identifikasi masalah matematika seperti penyelesaian persamaan-persamaan polinomial dengan cara menentukan akar atau menyusun bentuk geometris secara langsung. Dari penyelesaian masalah-masalah khusus, terdapat teknik- teknik umum yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah yang sama yang selanjutnya diuji apakah generalisasi tersebut berlaku pada semua masalah yang sejenis, atau hanya berlaku pada persoalan tertentu. Dalam mempelajari Aljabar Abstrak, pemahaman tentang sistem bilangan akan sangat membantu.
Selain itu, dalam banyak kasus akan dibuktikan apakah sifat-sifat tertentu merupakan akibat dari sifat lain yang telah diketahui. Cara pembuktian seperti ini dapat memperdalam pemahaman terhadap sistem tersebut. Lebih jauh lagi, akan diselidiki secara seksama perbedaan antara sifat-sifat yang diasumsikan dan dapat diterapkan dengan sifat-sifat yang harus disimpulkan darisifat-sifat yang diasumsikan tersebut. Beberapa istilah yang merupakan objek dasar dalam sistem matematika dapat diterima tanpa perlu berpedoman pada definisi. Asumsi awal mengenai masing-masing sistem akan dirumuskan dengan menggunakan istilah-istilah yang tak terdefinisi seperti ini.
Salah satu istilah yang tak terdefinisi seperti yang dimaksud di atas adalah himpunan. Kita dapat membayangkan suatu himpunan sebagai koleksi atau kumpulan objek yang memungkinkan ditentukannya suatu objek sebagai anggota himpunan atau bukan anggota himpunan. Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf kapital, atau dideskripsikan dengan mendaftarkan anggota-anggotanya.
Beberapa buku tidak memberikan definisi himpunan dengan alasan bahwa definisi tersebut pada hakikatnya masih memerlukan definisi lainnya. Penjelasan yang lain itu juga masih memerlukan penjelasan lebih lanjut, demikian seterusnya. Tetapi beberapa buku rujukan lainnya mendefinisikan himpunan sebagai kumpulan dari objek yang berhingga dan jelas berdasarkan persepsi atau pemikiran manusia. Himpunan dinyatakan dengan notasi huruf- huruf kapital, misalnya A, B, C, ?, H, ?.
Definisi yang umumnya disepakati adalah bagian-bagian yang membangun himpunan serta sifat-sifat himpunan, misalnya anggota himpunan, himpunan berhingga, himpunan tak hingga, himpunan kosong, himpunan bagian, irisan, gabungan, dan beberapa sifat lainnya.
Objek-objek yang membentuk suatu himpunan dinamakan anggota himpunan atau sering disebut elemen atau unsur himpunan. Anggota himpunan biasanya dinyatakan dengan hruf-huruf kecil, seperti a, b, c, d, ? e, f, dan seterusnya. Untuk menyatakan bahwa suatu objek merupakan anggota dari suatu himpunan tertentu, digunakan simbol . ? Sedangkan untuk menyatakan bahwa suatu objek bukan anggota dari himpunan tertentu, digunakan simbol . ? Jadi misalkan A adalah himpunan yang terdiri atas bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, dan 5, maka notasi himpunan dan anggota- anggotanya adalah:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
4 ? A, artinya 4 adalah anggota himpunan dari himpunan A.
6 ? A, artinya 6 bukan anggota himpunan dari himpunan A.